Proponiamo un lavoro in classe che accompagni i nostri alunni a scoprire e a conoscere un nuovo
argomento: i numeri primi. Il percorso nasce dalla lettura di un brano tratto da E.M. Enzensberger,
Il mago dei numeri (Torino, Enaudi1997)
Il mago dei numeri si rivolge a Roberto:
“Devi sapere che esistono quei banalissimi numeri che si possono dividere, e poi gli altri dove
invece non si può. Io preferisco questi. E sai perché? Perché sono dei prìncipi. I matematici si
rompono la testa da più di mille anni. Sono numeri meravigliosi. L'undici, per esempio, o il tredici,
ma anche il diciassette”. Roberto era un po' stupito perché il mago aveva un'aria estasiata come
se stesse assaporando un manicaretto.
Riflettiamo insieme
Chiediamo ai nostri alunni quali sono i numeri a cui si riferisce il mago parlando dei numeri che si possono “dividere" e che cosa si intende per divisibilità.
"E adesso, mio caro, dimmi quali sono i numeri prìncipi".
"Lo zero", rispose Roberto per farlo arrabbiare.
"Lo zero non vale", gridò il vecchio facendo vorticare il suo
bastone.
"Allora l’UNO”.
"Non vale neanche l'uno. Quante volte devo dirtelo!”
Interrompiamo un momento la lettura e chiediamo ai nostri alunni di motivare le parole del vecchio mago dei numeri
chiedendo perché in questo caso il numero uno non vale e perché nemmeno lo zero può essere preso in considerazione.
Abbiamo già lavorato a questo e i bambini dovrebbero essere in grado di rispondere correttamente.
"Ok", rispose Roberto. "Non ti agitare.
Allora il due. E anche il tre, almeno credo. Il quattro ci abbiamo provato".
Fermiamoci ancora e poniamo due domande ai ragazzi. Perché Roberto, con tanta sicurezza, afferma che il quattro non può essere considerato un numero prìncipe? Quale tipo di prova avrà potuto fare insieme al mago per giungere a questa conclusione? Continuiamo con la lettura e con le parole di Roberto.
"Il cinque, certo, il cinque non si può dividere. Va be', e poi gli altri"."Come sarebbe a dire: e poi gli
altri?”Il vecchio si era già calmato. Anzi si fregava le mani. E quando lo faceva, si poteva essere certi
che aveva in mente uno dei suoi trucchi.
“E’ questo il bello di numeri prìncipi”- disse.
"Nessuno sa in anticipo in base a quale ordine compariranno, a parte il sottoscritto,
naturalmente, ma io non lo dico a nessuno".
"Neanche a me?” "A nessuno! Mai!
La cosa divertente è proprio questa: che un numero non si rivela se è prìncipe o no. Nessuno può
dirlo prima. Bisogna fare la prova".
"E come?".“Adesso ti faccio vedere". Con il bastone, iniziò a scarabocchiare tutti i numeri da 2 a
50 sul muro della grotta.
[E il risultato del lavoro fu quello della scheda 1].
"Ecco, mio caro, adesso il bastone prendilo tu. Quando scopri che un numero non è prìncipe,
devi solo toccare con la punta del bastone e scompare."
"Manca l'uno", si lamentò Roberto. "E anche lo zero".
"Quante volte devo dirtelo? L'uno e lo zero non sono numeri come gli altri. Non sono né prìncipi ,
né non prìncipi. Ti ricordi cosa hai sognato all’inizio?”
Ancora una sosta e alcune domande per i nostri alunni.
• Perché il numero 1 non può essere considerato un numero prìncipe?
• Perché il numero 1 non può essere considerato un numero non-prìncipe?
• Perché il numero 0 non può essere considerato un numero prìncipe?
• Perché il numero 0 non può essere considerato un numero non-prìncipe?
"Che tutti gli altri numeri derivano dall'uno e dallo zero?".
"Se lo dici tu", disse Roberto. "Per prima cosa cancello tutti i numeri pari...".
Prima di continuare con la lettura chiediamo ai nostri alunni perché, secondo loro, Roberto decide
di cancellare tutti i numeri pari. Chiediamo ancora se, secondo loro, Roberto può cancellare tutti i
numeri pari.
Quando tutti avranno risposto verifichiamo insieme, leggendo le parole del protagonista del
racconto, se hanno dato la risposta esatta.
"... perché quelli si possono facilmente dividere per due".
"Meno il due", lo avvisò il vecchio. "Il due è principe, ricordatelo".
Roberto prese il bastone e iniziò.
(E in un batter d'occhio il muro numerato divenne come la scheda 2).
"E adesso continuo con il tre. Il tre è principe. E tutti i numeri che seguono nella
tabellina del tre non sono principi, perché si possono dividere per tre: 6, 9, 12 eccetera".
(Roberto cancellò la tabellina del tre e il risultato fu quello della scheda 3)
"Poi la sequenza del quattro. Anzi, no, dei numeri che si possono dividere per quattro possiamo
fregarcene, li cancello, perché il quattro non è principe, ma 2 x 2. Il cinque invece sì che è
principe. Il dieci naturalmente no, e poi è già scomparso perché 2 x 5.
"E puoi cancellare anche tutti gli altri che finiscono con cinque, disse il vecchio".
"Certo" (vedi la scheda 4).
Ormai Roberto ci aveva preso gusto.
"Il sei neanche a pensarci, disse, perché è 2 x 3. Il sette invece sì, il sette è prìncipe".
"Ottimo!" esclamò il mago. "Anche undici". "E quali restano?"
Mostriamo la tabella della scheda 4 ai ragazzi avvisandoli del fatto che c'è scritto un numero che non è primo (o prìncipe se vogliamo continuare a chiamare questi numeri come fanno il mago e Roberto) e chiediamo loro di individuarlo. Non dovrebbe essere difficile.
Proponiamo ora di ripetere le operazioni effettuate da Roberto consegnando ad ogni alunno la fotocopia della scheda 5e chiedendo di cancellare con un pennarello tutti i numeri che non sono primi. Sì , nella scheda 5 compare anche il numero 1, ma i nostri alunni dovrebbero cancellarlo immediatamente motivando il perché. Chiediamo a tutti i nostri alunni di contare i numeri che non
sono stati cancellati e di scrivere su un foglietto , che ci consegneranno, quanti sono.
Tutti dovrebbero consegnare un foglio con su scritto il numero 15, perché i numeri primi minori di 50 sono proprio 15. Chiediamo ancora: "E se consideriamo i numeri minori di 100?
Quanti sono i numeri primi?". Consegniamo ai nostri alunni un'altra fotocopia, questa volta con la tabella dei numeri da 1 a 100 (scheda 6), e chiediamo loro di cancellare tutti i numeri non primi. Quanti saranno i numeri che restano non cancellati? Questa volta attendiamo un 25 come risposta. E se consideriamo i numeri compresi fra 100 e 200? È importante non fermarsi a considerare solo i numeri primi minori di 100, perché i bambini potrebbero formarsi l'idea errata che i numeri primi si trovano solo in questo gruppo di
numeri, e potrebbero trovarsi in difficoltà in un futuro non molto lontano, di fronte alla domanda: quanti sono
i numeri primi?
NUMERI PRIMI, NUMERI NON PRIMI E FATTORIZZAZIONE
Lavorando insieme a Roberto e al mago dei numeri, abbiamo rintracciato alcuni numeri primi, alcuni numeri non-primi, alcuni numeri non primi e non non-primi. Chiediamo ai nostri alunni di rappresentare con un diagramma, per esempio quello di Eulero-Venn, poi
concentrare la nostra attenzione sui numeri non-primi, che per comodità possiamo chiamare numeri composti. Invitiamo i nostri alunni a scrivere i numeri composti in un modo diverso da quello che abitualmente utilizziamo, scrivendo delle moltiplicazioni il cui prodotto sia proprio il numero considerato.
Dividiamo la classe in quattro gruppi e consegniamo a ogni gruppo una tessera di cartoncino su cui è scritto un numero che deve essere uguale per ogni gruppo; invitiamo i bambini a indicare quale moltiplicazione dà quel prodotto, poi confrontiamoli e discutiamone insieme. Consegniamo inizialmente una tessera con il numero 100. Può capitare che un gruppo di loro ci comunichi correttamente che la moltiplicazione che dà quel prodotto è 50 x2!
Benissimo,è proprio vero. Ma questa può non essere l'unica risposta.
Un altro gruppo può comunicarci che la moltiplicazione che dà quel prodotto è 25 x4.
Giusto anche in questo caso. E potrebbe essere diversa... Se però, noi chiediamo ai quattro gruppi di alunni la fattorizzazione in numeri primi le risposte non possono essere diverse fra loro. Consegniamo ai bambini una tessera con il numero 24 e chiediamo di
scrivere tutte le possibili moltiplicazioni fin quando nessun numero indicato può essere considerato il prodotto di una moltiplicazione.
Verifichiamo che non ci siano risposte diverse perché la fattorizzazione di un numero composto è unica (tenendo conto che cambiare l'ordine dei fattori non è da considerare come una diversa fattorizzazione, ovviamente). Quindi abbiamo ottenuto che 24 = 3 x2x2x2. Ma c'è un modo più economico per scriverlo: 24 = 3 x 2 alla terza. Chiediamo agli alunni di scegliere un numero diverso per i quattro gruppi e di fattorizzare in numeri primi. Ogni gruppo avrà poi il compito di verificare le risposte
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